命題
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
(f_j)、j ∈ J を F の K 上の基底とする。
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は K 上上線型独立であるとする。
このとき E と F は K 上線型無関連（>>713）である。

証明
>>760より (e_i)、i ∈ I が F 上線型独立であることを証明すれば良い。
(y_i)、i ∈ I を有限 F の元の列で Σe_iy_i = 0 とする。
ただし、I_0 = {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限であるとする。
各 i ∈ I_0 に対して y_i = Σ[j] a_(i, j)f_j とする。
ここで a_(i, j) ∈ K
Σe_iy_i = Σ[i] e_i(Σ[j] a_(i, j)f_j) = Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0
仮定より各 a_(i, j) = 0
よって、各 y_i = 0
よって、(e_i)、i ∈ I が F 上線型独立である。
証明終