命題
K を可換体とする。
K の標数（>>667）を p ＞ 0 とする。
K は多項式 X^(p^n) - X ∈ K[X] の分解体（>>538）であるとする。
このとき X^(p^n) - X ∈ K[X] の根全体 F は K の部分体であり |F| = p^n である。

証明
ψ を K のFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
F = {x ∈ K：ψ^n(x) = x} である。
よって、F は K の部分体である。
X^(p^n) - X の導多項式(過去スレpart1の182)は (p^n)X^(p^n - 1) - 1 = -1
>>695より X^(p^n) - X は分離的（>>694）である。
よって、|F| = p^n である。
証明終