命題
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
L/K と M/K を拡大（>>512）とする。

L において f(X) = Π(X - α_i)^(m_i)、i = 1、．．．、s とする。
ここで、α_1、．．．、α_s は互いに異なる。

M において f(X) = Π(X - β_k)^(r_k)、k = 1、．．．、t とする。
ここで、β_1、．．．、β_t は互いに異なる。

このとき s = t であり適当に番号を付け替えれば m_i = r_i、i = 1、．．．、s となる。

証明
E = K(α_1、．．．、α_s) (>>539)
F = K(β_1、．．．、β_t)
とおく。
E、F はそれぞれ f(X) の最小分解体（>>541）である。
>>622より K-同型 τ：E → F が存在する。
τ は環の同型 τ’：E[X] → F[X] を引き起こす。
f(X) = Π(X - α_i)^(m_i) の両辺に τ’を作用させると
f(X) = Π(X - τ(α_i))^(m_i) となる。
τ は単射だから i ≠ j なら τ(α_i) ≠ τ(α_j) である。
よって、多項式環の素元分解の一意性より s = t であり
適当に番号を付け替えれば
τ(α_i) = β_i、i = 1、．．．、s
m_i = r_i、i = 1、．．．、s
となる。
証明終