命題
K を可換体とする。
L を K の拡大体（>>512）とする。
Φ を K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体の集合とする。
L が K の代数的閉包（>>628）であるためには
L が Φ の最小分解体（>>542）であることが必要十分である。

証明
必要性：
L が K の代数的閉包であるとする。
>>632より任意の f(X) ∈ Φ は L で分解する。
α ∈ L を任意の元とする。
α は K 上代数的だから f(X) ∈ Φ があり f(α) = 0 である。
よって、L は Φ の最小分解体である。

十分性：
L が Φ の最小分解体であるとする。
>>607より L は K 上代数的である。
L が代数的閉体（>>628）であることを証明すれば良い。
G(X) ∈ L[X] を定数でない多項式とする。
>>535より L の拡大体 E があり G(X) は E で分解（>>534）する。
G(X) の E における根の一つを γ とする。
>>587と>>605より γ は K 上代数的である。
f(X) を γ の K 上の最小多項式（>>557）とする。
f(X) は L で分解するから γ ∈ L である。
よって、L は代数的閉体である。
証明終