命題
K と K’を可換体とする。
σ： K → K’を同型（>>513）とする。
L/K と L’/K’をそれぞれ拡大（>>512）とする。
α ∈ E を K 上代数的（>>553）とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（>>554）とする。
(σf)(X) ∈ K[X] を f(X) の各係数にσを作用させたものとする。
α’∈ L’を (σf)(X) の根とする。
このとき同型 ψ： K(α) → K’(α’) で ψ(α) = α’となり σ の拡張であるものが一意に存在する。

証明
>>565より K[α] = K(α)、K’[α] = K’(α) である。

>>555より K-同型 Ψ：K[X]/(f(X)) → K[α] で Ψ(X~) = α となるものが一意に存在する。
同様に K’-同型 Φ：K’[X]/((σf)(X)) → K’[α’] で Φ(X~) = α’となるものが一意に存在する。

他方、
>>610より同型 δ：K[X] → K’[X] で g(X) ∈ K[X] のとき δ(g(X)) = (σg)(X) となるものが
一意に存在する。
>>611より δ は同型 Δ：K[X]/(f(X)) → K’[X]/((σf)(X)) を引き起こす。

ψ = ΦΔΨ^(-1) とおけば良い。
証明終