命題
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：A → E を標準写像（>>545）とする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
Φ を S の空でない有限部分集合全体とする。
このとき、A[S] = ∪{A[T]； T ∈ Φ} である。

証明
B = ∪{A[T]； T ∈ Φ} とおく。
T ∈ Φ、T’∈ Φ とする。
A[T] ∪ A[T’] ⊂ A[T ∪ T’] である。
よって、B は E の部分環である。
B は ρ(A) と S を含むから A[S] ⊂ B である。
逆の包含関係は明らかであるから A[S] = B である。
証明終