命題
A を可換環とする。
B を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
E を B 上の線型環とする。
B は A 上整（>>576）、E は B 上整とする。
このとき、E は A 上整である。

証明
E の元 α は
α^n + b_1α^(n-1) + ... + (b_n)1 = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列である。
よって、α は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
>>585より A[b_1, ... , b_n] は A 上有限（>>573）である。
>>579より A[b_1, ... , b_n, α] は A[b_1, ... , b_n] 上有限である。
>>580より A[b_1, ... , b_n, α] は A 上有限である。
よって、>>578より α は A 上整である。
証明終