命題
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列でその任意の２元が可換であるとする。
各 α_i が A 上整（>>576）であれば A[α_1、．．．、α_n]（>>552）は A 上有限（>>573）である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは>>579より A[α]（>>552）は A 上有限である。
n ≧ 2 とする。
A[α_1、．．．、α_n] = A[α_1、．．．、α_(n-1)][α_n]（>>581）である。
帰納法の仮定より A[α_1、．．．、α_(n-1)] は A 上有限である。
α_n は A 上整であるから A[α_1、．．．、α_(n-1)] 上整である。
よって、>>584より A[α_1、．．．、α_n] は A[α_1、．．．、α_(n-1)] 上有限である。
>>580より A[α_1、．．．、α_n] は A 上有限（>>573）である。
証明終