命題
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
B を E の可換な A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
α を E の元で B の各元と可換とする。
α が B 上整（>>582）であるなら B[α]（>>583）は A-加群として有限生成である。

証明
B の元の列 b_1, ... , b_n で、
α^n + b_1α^(n-1) + ... + b_n = 0
となるものがある。
α^n ∈ B + Bα + ... + Bα^(n-1) である。
これから帰納法で任意の整数 m ≧ n に対して
α^m ∈ B + Bα + ... + Bα^(n-1) となることがわかる。
よって、B[α] = B + Bα + ... + Bα^(n-1)
証明終