命題
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E の元 α が A 上整（>>576）であるなら A[α]（>>552）は A-加群として有限生成である。

証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
α^n + a_1α^(n-1) + ... + (a_n)1 = 0
となるものがある
α^n ∈ A1 + Aα + ... + Aα^(n-1) である。
これから帰納法で任意の整数 m ≧ n に対して
α^m ∈ A1 + Aα + ... + Aα^(n-1) となることがわかる。
よって、A[α] = A1 + Aα + ... + Aα^(n-1)
証明終