>>574の修正

補題（代数的整数論001の236から少し修正して転載）
A を可換環、M を A-加群とする。
n ＞ 0 を整数。
a_(i,j), 1 ≦ i, j ≦ n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。

これ等の間に次の関係式：

a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0

があるとする。
このとき、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 T = (a_(i,j)) であり、det(T) は T の行列式。

証明
(x_1, x_2, ... , x_n) の転置行列を x とする。
上の関係式を行列記法で書くと、Tx = 0 となる。
T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n 次の単位行列。
よって、(T~T)x = (det(T)E)x = det(T)x = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終