命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：K → E を標準写像（>>545）とする。
E ≠ 0 であるから>>360より ρ は単射である。
よって、この単射により K と ρ(K) を同一視する。
L を K ⊂ L ⊂ E となる E の部分環で必ずしも可換とは限らない体とする。
[E : K]（>>560）は有限であるとする。
このとき E を L-左加群とみたときの E の L 上の次元と
E を L-右加群とみたときの E の L 上の次元は一致する。
この次元を s とすると [E : K] = s[L : K] である。

証明
E を L-左加群とみたときの E の L 上の次元を s とし、
E を L-右加群とみたときの E の L 上の次元を r とする。
K は E の中心に含まれるから E を K-左加群とみたときの E の K 上の次元と
E を K-右加群とみたときの E の K 上の次元は一致する。
同様に K は L の中心に含まれるから L を K-左加群とみたときの L の K 上の次元と
L を K-右加群とみたときの L の K 上の次元は一致する。
よって、>>567より [E: K] = s[L : K] = r[L : K]
[E: K] は有限だから s = r である。
証明終