命題
A を可換環とする。
f(X) を A 係数の次数 n ≧ 1 のモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。
(f(X)) を f(X) で生成される A[X] のイデアルとする。
ρ：A[X] → A[X]/(f(X)) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = α とおく。
このとき 1、α、．．．、α^(n-1) は A-線型環 A[X]/(f(X)) の A 上の基底である。

証明
任意の g(X) ∈ A[X] に対して g(X) = f(X)q(X) + r(X)、deg r(X) ＜ n となる q(X)、r(x) ∈ A[X] が
存在する。
このとき、g(α) = f(α)q(α) + r(α) = r(α) である。
よって、A[X]/(f(X)) の任意の元は 1、α、．．．、α^(n-1) の A 上の一次結合として表される。

A の元の列 a_0、．．．，a_(n-1) があり a_0 + (a_1)α + ．．． + (a_(n-1))α^(n-1) = 0 とする。
g(X) = a_0 + a_1X + ．．． + a_(n-1)X^(n-1) とおく。
ρ(g(X)) = 0 だから g(X) ∈ (f(X))
よって、g(X) = f(X)q(X) となる q(X) ∈ A[X] がある。
f(X) はモニックだから q(X) ≠ 0 とすると deg g(X) = deg f(X) + deg q(X) ≧ n となって
矛盾である。
よって、q(X) = 0
よって、g(X) = 0
即ち、a_0 = a_1 = ．．． = a_(n-1) = 0 である。
よって、1、α、．．．、α^(n-1) は A 上一次独立である。
即ち、1、α、．．．、α^(n-1) は K[X]/(f(X)) の A 上の基底である。
証明終