命題
K を可換体とする。
L を K の拡大体とする。
E を L 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E は K 上の線型環でもある。
(e_i)、i ∈ I を L の K 上の（線型空間としての）基底とし、
(f_j)、j ∈ J を E の L 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は E の K 上の基底である。
よって、[E: K] = [E: L][L : K] である。

証明
任意の z ∈ E に対して L の元の列 (α_j)、j ∈ J があり、
z = Σ(α_j)(f_j) と書ける。
ここで、有限個の j を除いて α_j = 0 である。

各 j ∈ J に対して K の元の列 (b_(j, i))、i ∈ I があり、
α_j = Σ[i] (b_(j, i))(e_i) と書ける。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて b_(j, i) = 0 である。

よって、z = Σ[i, j] (b_(j, i))(e_i)(f_j) と書ける。
よって、E は K 上 ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J で生成される。

K の元の列 (c_(j, i))、i ∈ I があり、Σ[i, j] (c_(j, i))(e_i)(f_j) = 0 とする。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて c_(j, i) = 0 である。
各 j に対して Σ[i] (c_(j, i))(e_i) は L の元であるから Σ[i] (c_(j, i))(e_i) = 0 である。
よって、各 (i, j) に対して c_(j, i) = 0
よって、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は K 上一次独立である。

以上から ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は E の K 上の基底である。
証明終