命題
K を可換体とする。
I を集合とする。
(E_i)、i ∈ I を K の拡大体（>>512）の族とする。
このとき K の拡大体 L と各 i ∈ I に対して K-埋め込み σ_i：E_i → L が存在する。

証明
I に全順序を定義する（例えば整列定理を使う）。
E = ※[i ∈ I] E_i（>>486）とおく。
i ∈ I のとき φ_i：E_i → E を標準射（>>488）とする。
>>531より各 i ∈ I に対して φ_i は単射である。
よって、E ≠ 0 である。
E は単位元を持つから Zornの補題より E は極大イデアル M を持つ。
L = E/M とおく。
L ≠ 0 であるから>>360より標準射 K → L は単射である。
よって、L は K の拡大体（>>512）と見なせる。
π：E → L を標準射とする。
各 i ∈ I に対して σ_i = πφ_i とおけば σ_i：E_i → L は K-埋め込みである。
証明終