A を可換環とする。
I を小さい（代数的整数論017の322）フィルター圏（過去スレpart3の36）とする。
F：I → A-Alg（>>421）を関手とする。
S = ΣF(i) を直和集合とし、f_i：F(i) → S を標準写像とする。
≡ を（過去スレpart3の44）で定義した同値関係とする。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
x ∈ S に対して p(x) を [x] と書くことにする。

x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
[x] と [y] の和 [x] + [y] を [F(u)(x) + F(v)(y)] により定義する。
[x] と [y] の [x][y] を [F(u)(x)・F(v)(y)] により定義する。
a ∈ A と [x] の積 a[x] を [ax] により定義する。

このとき、この算法は各同値類の代表の取り方によらず
L はこの算法により A-線型環となる。
このとき L = colim F（過去スレpart2の831）である。