命題（>>419の拡張）
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（>>421）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（>>486）とおく。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
J ∈ Φ のとき φ_J：E_J（>>484）→ E を標準射とする。
i ∈ I のとき φ_{i} を φ_i と書く。
このとき、以下が成り立つ。

（1）i ≠ k のとき φ_i(E_i) の各元と φ_k(E_k) の各元は可換である。
（2）E は (φ_i(E_i))、i ∈ I の和集合により A-線型環として生成される。
（3）F ∈ A-Alg とし、各 i ∈ I に対して f_i：E_i → F を A-Alg の射で
i ≠ k のとき f_i(E_i) の各元と f_k(E_k) の各元は可換であるとする。
このとき A-Alg の射 g：E → F で各 i ∈ I に対して f_i = gφ_i となるものが一意に存在する。

証明
（1）i と k を含む J ∈ Φ をとる（例えば J = {i, k}）。
φ_(J, {i})：E_i → E_J
φ_(J, {k})：E_i → E_J
を>>483の射とする。
φ_i = φ_Jφ_(J, {i})
φ_k = φ_Jφ_(J, {k})
である。

>>419より φ_(J, {i})(E_i) の各元と φ_(J, {k})(E_k) の各元は可換である。
よって、φ_Jφ_(J, {i})(E_i) の各元と φ_Jφ_(J, {k})(E_k) の各元は可換である。
即ち φ_i(E_i) の各元と φ_k(E_k) の各元は可換である。

（続く）