命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I を有限全順序集合とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を A-Alg（>>421）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_α（>>478）とおく。
このとき A-Alg の同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α（>>478）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（>>11）である。

証明
>>469より Mod(A) の同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_αとなるものが一意に存在する。
この ψ が A-Alg の射であることを証明すれば良い。
(x_α)、(y_α) を E_α の元の族とする。
x = ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)
y = ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] y_α)
とおく。
xy
= ※[i ∈ K]((※[α ∈ J_i] x_α)(※[α ∈ J_i] y_α))
= ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_αy_α)
よって、
ψ(xy) = ※[α ∈ I] x_αy_α = (※[α ∈ I] x_α)(※[α ∈ I] y_α) = ψ(x)ψ(y)

※[i ∈ K] F_i の任意の元は x = ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α) の形の元の有限和で表される。
よって、上記より ψ は A-Alg の射である。
証明終