命題
A を可換環とする。
E、F ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 σ：E※F → F※E で
任意の (x, y) ∈ E×F に対して σ(x※y) = y※x となるものが一意に存在する。
さらに σ は E、F に関して自然（>>11）である。

証明
(x, y) ∈ E×F に y※x ∈ F※E を対応させる写像を h：E×F → F※E とする。
h は A-双線型であるから>>402より A-準同型 σ：E※F → F※E で
任意の (x, y) ∈ E×F に対して σ(x※y) = y※x となるものが一意に存在する。

同様に A-準同型 τ：F※E → E※F で
任意の (y, x) ∈ F×E に対して τ(y※x) = x※y となるものが一意に存在する。

E※F は x※y の形の元で生成され、F※E は y※x の形の元で生成される。
よって、σ と τ は互いに逆写像である。

f：E → E’と g：F → F’を Mod(A) の射とする。
任意の (x, y) ∈ E×F に対して
(g※f)(σ(x※y)) = (g※f)(y※x) = g(y)※f(x)
σ(f※g)(x※y) = σ(f(x)※g(y)) = g(y)※f(x)
よって、(g※f)σ = σ(f※g)
よって、σ は E、F に関して自然である。
証明終