>>464の修正

補題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[α ∈ J_i] E_α（>>461）とおく。
このとき A-同型 ψ：□[i ∈ K] F_i → □[α ∈ I] E_α で
ψ(□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α)) = □[α ∈ I] x_α（>>461）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（>>11）である。

証明
>>411より (Mod(A), ※) は擬半群圏（>>430）である。
よって、>>456より A-同型 ψ：□[i ∈ K] F_i → □[α ∈ I] E_α で
各 E_α に関して自然なものが存在する。
各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α のとき
ψ(□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α)) = □[α ∈ I] x_α となることは
>>456の証明から分かる。
ψ の一意性は>>463より □[i ∈ K] F_i は □[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α) の形の元全体で
生成されることから分かる。
証明終