命題
A を可換環とする。
E、F、G ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 λ：(E※F)※G → E※F※G で
λ((x※y)※z) = x※y※z となるものが一意に存在する。
さらに λ は (E、F、G) に関して自然（>>11）である。

証明
写像 h：E×F×G → E※F※G を h(x、y、z) = x※y※z で定義する。
z ∈ G を固定したとき (x、y) → h(x、y、z) は A-双線型写像である。
>>402より A-準同型 λ_z：E※F → E※F※G で
各 (x、y) ∈ E×F に対して λ_z(x※y) = x※y※z となるものがある。
(w、z) ∈ (E※F)×G に対して λ_z(w) を g(w、z) と書く。
g(w、z) が A-双線型写像であることを示そう。
a ∈ A、x ∈ E、y ∈ F、z ∈ G とする。
λ_z は A-準同型だから g(a(x※y)、z) = λ_z(a(x※y)) = aλ_z(x※y) = ag(x※y、z)
他方、g(x※y、az) = λ_az(x※y) = x※y※az = a(x※y※z) = aλ_z(x※y) = ag(x※y、z)
E※F は x※y の形の元で生成されるから上記から g：(E※F)×G → E※F※G は A-双線型写像である。
よって、 >>402より A-準同型 λ：(E※F)※G → E※F※G で
λ((x※y)※z) = g(x※y、z) = λ_z(x※y) = x※y※z となるものが一意に存在する。

他方、写像 f：E×F×G → (E※F)※G を f(x、y、z) = (x※y)※z で定義する。
明らかに f は A-多重線型写像である。
よって、>>402より A-準同型 ρ：E※F※G → (E※F)※G で
ρ(x※y※z) = (x※y)※z となるものがある。
(E※F)※G は (x※y)※z の形の元で生成され、E※F※G は x※y※z の形の元で生成される。
よって、λ と ρ は互いに逆写像である。

(続く)