命題（過去スレpart3の416の拡張）
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A 上の線型環とする。
D = (E_1)※．．．※(E_n)（>>401）とおく。
このとき A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) となるものが一意に存在する。

証明
x = (x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) を固定する。
写像 f_(x_1、．．．、x_n)：(E_1)×．．．×(E_n) → D を
f_(x_1、．．．、x_n)(y_1、．．．、y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) で定義する。
f_(x_1、．．．、x_n) は各変数に関して A-線型であるから
一意に定まる A-線型写像 λ_(x_1、．．．、x_n)：D → D があり、
λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) = f_(x_1、．．．、x_n)(y_1、．．．、y_n) となる。
即ち、λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n)
対応 (x_1、．．．、x_n) → λ_(x_1、．．．、x_n) は写像
λ：(E_1)×．．．×(E_n) → Hom(D、D) を定める。
λ が各変数に関して A-線型であることは容易に分かる。
よって、一意に定まる A-線型写像 μ’：D → Hom(D、D) があり、
μ’(x_1※．．．※x_n) = λ_(x_1、．．．、x_n) となる。
写像 μ：D×D → D を μ(x、y) = μ’(x)(y) で定義する。
μ は A-双線型写像である。
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n)
= μ’(x_1※．．．※x_n)(y_1※．．．※y_n)
= λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) =(x_1y_1)※．．．※(x_ny_n)

D の各元は x_1※．．．※x_n の形の元の和であるから μ の一意性は明らかである。
証明終