命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
A ≠ 0 を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：K → A を任意の準同型とする。
ρ^：Mod(K) → Mod(A) を過去スレpart3の877で定義した関手とする。
E を Mod(K) の対象とする。
ψ：E → ρ^(E) を>>361の写像とする。
F を E の K-部分加群とする。
>>391より ρ^ は完全であるから ρ^(F) は ρ^(E) の K-部分加群と見なされる。
このとき ρ^(F) ∩ ψ(E) = ψ(F) である。

証明
K^o を K の双対環（過去スレpart2の592）とする。
A ∈ Mod(K^o) とみて A の K 上の基底を (a_i)、i ∈ I とする。
a_(i_0) = 1 と仮定してよい。
過去スレpart3の887より ρ^(E) の元 z は z = Σ(a_i)※(x_i)、x_i ∈ E と一意に書ける。
z ∈ ρ^(F) であるためには各 x_i ∈ F が必要十分である。
他方、z ∈ ψ(E) であるためには i ≠ i_0 のとき x_i = 0 が必要十分である。
よって、z ∈ ρ^(F) ∩ ψ(E) であるためには
i ≠ i_0 のとき x_i = 0 となり、x_(i_0) ∈ F であることが必要十分である。
よって、ρ^(F) ∩ ψ(E) = ψ(F) である。
証明終