命題
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）とする。
0 → X → Z → Y → 0 を C における分解（>>315）する完全列（代数的整数論019の651）とする。
このとき 0 → F(X) → F(Z) → F(Y) → 0 は分解する完全列である。

証明
上の列において、f：X → Z、q：Z → Y とする。
>>348より p：Z → X と g：Y → Z があり
pf = 1_X
qg = 1_Y
fp + gq = 1_Z
となる。

F は加法的関手であるから

F(p)F(f) = 1_F(X)
F(q)F(g) = 1_F(Y)
F(f)F(p) + F(g)F(q) = 1_F(Z)

代数的整数論019の523より (F(f), F(g)、F(Z)) は直和（>>297）である。
よって、>>344より 0 → F(X) → F(Z) → F(Y) → 0 は完全である。
F(p)F(f) = 1_F(X) だから>>339よりこの列は分解する。
証明終