命題
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
C の射 f：X → Y が断面（>>295）であるためには
f が単射で (X, f) が Y の直和因子（>>309）であることが必要十分である。

証明
必要性：
f：X → Y が断面であるとする。
>>300より f は単射である。
pf = 1_X となる射 p：Y → X がある。
K = Ker(p) とおく。
g：K → Y を標準射とする。
h = 1 - fp とおく。
h：Y → Y である。
ph = p(1 - fp) = p - p = 0 である。
よって、q:Y → K で gq = h となるものが一意に存在する。

1 = fp + (1 - fp) = fp + h = fp + gq

gqg = hg = (1 - fp)g = g - fpg = g
即ち gqg = g
g は単射だから qg = 1_K である。

以上から代数的整数論019の523より (f, g、Y) は X と K の直和（>>297）である。
よって、(X, f) は Y の直和因子である。

十分性：
(X, f) が Y の直和因子であるとする。
>>301より f：X → Y は断面である
証明終