命題
C、D、E をそれぞれ圏とする。
このとき、Func(C×D, E) (過去スレpart2の597) と Func(C, Func(D, E)) は圏として同型である。

証明
F：C×D → E と G：C×D → E を関手とする。
各 X ∈ C に対して関手 F(X, −)：D → E （過去スレpart2の686）が得られる。
対応 X → F(X, −) は関手 F’：C → Func(D, E) を定める。
τ：F → G を自然変換（代数的整数論017の370）とする。
各 X ∈ C に対して τ は自然変換 τ(X, −)：F(X, −) → G(X, −) を定める。
対応 X → τ(X, −) は自然変換 τ’：F’→ G’を定める。
F ∈ Func(C×D, E) に F’∈ Func(C, Func(D, E)) を対応させ
自然変換 τ：F → G に自然変換 τ’：F’→ G’を対応させることにより
関手 ψ：Func(C×D, E) → Func(C, Func(D, E)) が得られる。
この関手は明らかに逆関手を持つ。
証明終