A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
>>14より随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ)（代数的整数論019の362）が存在する。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。
Hom(ρ_*(−), E): Mod(B)^o → Set を T ∈ Mod(B) に Hom(ρ_*(T), E) を対応させる関手とする。
随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ) より Hom(ρ_*(−), E) と Hom(−, ρ~(E)) は自然同型である。
τ：ρ_*(ρ~(E)) → E を>>70で定義された射とする。
Hom(ρ_*(−), E) は (ρ~(E), τ) で表現される（代数的整数論017の653）。

T ∈ Mod(B) とする。
アーベル群の同型 φ = φ(T, E)：Hom(ρ_*(T), E) → Hom(T, ρ~(E)) がある。
f：ρ_*(T) → E を任意の A-射とする。
このとき B-射 g：T → ρ~(E) で f = τρ_*(g) となるものが一意に存在する。
このとき φ(f) = g である。
>>65より b ∈ B、t ∈ T のとき g(t)(b) = f(bt) である。