命題
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
ρ~：Mod(A) → Mod(B)（>>877）は ρ_*：Mod(B) → Mod(A)（過去スレpart3の871）の
右随伴関手（代数的整数論019の362）である。

証明
E ∈ Mod(A)、F ∈ Mod(B) とする。
a ∈ A、x ∈ B のとき ax = ρ(a)x と定義することにより B ∈ Mod(A, B^o) と見なせる。
B※F を B 上のテンソル積（過去スレpart2の651）とする。
B※F ∈ Mod(A) と見なせる。
一方、過去スレpart2の801より B※F は F と B-加群として自然（>>11）に同型である。
よって、B※F ∈ Mod(A) と見なした場合 B※F は ρ_*(F) と自然（>>11）に同型である。
一方、過去スレpart2の748より
アーベル群の同型 φ(F, E)：Hom_A(B※F, E) → Hom_B(F, Hom_A(B, E)) が存在する。
上記より B※F を ρ_*(F) と同一視すれば
アーベル群の同型 φ(F, E)：Hom(ρ_*(F), E) → Hom(F, ρ~(E)) が存在する。
過去スレpart2の748より、この同型は F と E に関してそれぞれ自然である。
よって、（ρ_*、ρ~、φ) は随伴状況である。
証明終