まずlim[x→0]sinx/xを考える。
これ、一周をaとすると(たとえばsin(a/4)=1、a=2πは弧度法)、
lim[x→0]sinx/x=2π/aであるから(計算してみるとよい)、sinxの導関数は(2π/a)cosx
よって、a=2πの場合、sinxの導関数はcosx。スッキリしてますね。
a=360の度数法ならば、sinxの導関数は(π/180)cosxとなる。
余計な係数が付きますね。
このように、一周を2πとすると、実にスッキリした三角関数の微積分体系が出来上がる。余計な係数が付かない。
で、これがたまたま、単位円における、その角に対応する弧の長さとなるから弧度法と呼ばれ、数学では頻用される。
微積分において、余計な係数が付かないから、弧度法は重宝されているわけである。
ちなみに、弧度法だろうが度数法だろうが、加法定理、和積公式、積和公式などは当然、共通である。
ただし、微積分公式は、全く異なる。
sinxの導関数は、度数法の場合は(π/180)cosxであり、たとえば、直角が10、一周が40の場合は、(π/20)cosxとなる。
これがどーしても理解できないなら、一生理解しなくて結構ｗ
いかなる場合でも、サインの微分はコサインだあ、と思いこんでおればよろしい。