>>342

3点A,B,Cがなす平面から中心Oまでの距離をh、点Dまでの距離をdとすると、
　d ≦ 1+h,　　(半径1)
△ABCの外接円の半径Rは
　R = √(1-h^2),
このとき、△ABCの面積 ≦ {(3√3)/4}R^2 だから, (*)
∴　V = (1/3)△ABC･d
　　　≦ (√3)(R^2)(1+h)/4
　　　= (√3)(1-h^2)(1+h)/4
　　　= (√3)(1-h)[(1+h)/2]^2
　　　= (√3){(2/3)^3 - (1/4)(5/3 +h)(1/3 -h)^2}
　　　≦ (√3)(2/3)^3,　　　　　　　　　　　　(**)
　　　等号成立は正４面体のとき。
*)
　△ABC = (AB･BC･CA)/4R
　　　　= 2R^2･sin(A)･sin(B)･sin(C)
　　　　≦ 2R^2･{[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3　(相乗･相加平均)
　　　　≦ 2R^2･{sin((A+B+C)/3)}^3　　(上に凸)
　　　　=　2R^2･{sin(π/3)}^3　　　　(A+B+C=π)
　　　　=　2R^2･{(√3)/2}^3
　　　　= {(3√3)/4}R^2,
　　　　等号成立は正△のとき。
**)
　{1-h, (1+h)/2, (1+h)/2} の相加平均は 2/3 なので、
　　　(1-h)[(1+h)/2]^2 ≦ (2/3)^3,