あなた f"n+2(x)=(n+2)[(n+1)fn(x)(1-4x+4x^2)-2fn+1(x)]
回答　 f"n+2(x)=(n+2)[(n+1)fn(x){1-4x(1-x)}-2fn+1(x)]

(1-4x+4x^2)　をくくって　1-4x(1-x)　になっているだけ？