a,b∈Ｒ、a＜bとし、I=[a,b]とする。
f:I→Ｒが連続な増加関数ならばf(I)=[f(a),f(b)]であることを証明しなさい。

fが増加関数だからf(a)＜f(b)である。
(イ)
f(c)＜f(a)を満たすc∈Iが存在すると仮定する。
a≦c、f増加関数よりf(a)≦f(c)となり矛盾。
…というふうに背理法で証明しようとしました。
fが連続という条件がうまく使えないんですけどどうすればいいですか。