>>10
機械的に微分することが求められているとすれば、
変数zに関する微分Dについて使う法則は
積の微分　D(f(z)・g(z))=D(f(z))・g(z)+f(z)・D(g(z))、和の微分Ｄ(f(z)+g(z))=D(f(z))+D(g(z))、
合成の微分　D(f(g(z)))=(Df)(g(z))・D(g(z))、
あとは　単項式　z^n　の微分　D(z^n)=nz^(n-1)　や指数関数e^zの微分　D(e^z)=e^z　などを適宜使う。
ここで記号Dは　d/dz　の意味。

f(x,y)=x・sin(x・y)　を　x　で偏微分するなら、　∂/∂x　を　D　とかくことにする。
xに関する偏微分なのでyはただの定数と見る。
D(f(x,y))=D(x・sin(x・y))=D(x)・sin(x・y)+x・D(sin(x・y))=sin(x・y)+x・cos(x・y)・D(x・y)=sin(x・y)+x・y・cos(x・y)
次に、Dがyに関する偏微分∂/∂yを表すものとすると、今度はxをただの定数と見て
D(f(x,y))=D(x・sin(x・y))=x・D(sin(x・y)=x・cos(x・y)D(x・y)=x・cos(x・y)・x=(x^2)・cos(x・y)