>>722
反変ベクトルは v'^i＝Σ[j] (∂x'^i/∂x^j) v^j
共変ベクトルは v'_i＝Σ[j] (∂x^i/∂x'^j) v_j
反変テンソルは T'^{i,j}＝Σ[r,s] (∂x'^i/∂x^r) (∂x'^j/∂x^s) T^{r,s}
共変テンソルは T'_{i,j}＝Σ[r,s] (∂x^r/∂x'^i) (∂x^s/∂x'^j) T_{r,s}
反変と共変の変換行列 (∂x'^i/∂x^j) と (∂x^i/∂x'^j) は逆行列の関係にあるから、
共変テンソルと反変ベクトルによる Σ[j] T_{i,j} v^j は j の変換が消えて i 成分の共変ベクトル変換だけ残る。というのが答。
教科書によって書き方は違うだろうが、変換行列が逆行列になることが分からんのはダメ。