命題 603
I をフィルター圏(>>36)とする。
J を I の部分圏とする。
L：J → I を標準関手とする。
このとき L が終関手(>>92)であるためには J が共終(>>95)であることが必要十分である。

証明
必要性：
L が終関手であるとする。
任意の i ∈ I に対して (i↓L) は空でない。
よって、射 u：i → j で j ∈ J となるものが存在する。
よって、J は共終である。

十分性：
J が共終であるとする。
任意の i ∈ I に対して (i↓L) は空でない。

u：i → j と v：i → j’を (i↓L) の対象とする。
ここで、j、j’∈ J である。
>>41より I は擬フィルター圏(>>34)である。
よって、I の対象 k と射 r：j → k、s：j’→ k で ru = sv となるものが存在する。
J は共終だから k ∈ J と仮定してよい。
よって、(i↓L) は連結である。
証明終