命題 679
A と B と C を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B と σ：B → C を準同型とする。
ρ_*：Mod(B) → Mod(A) と σ_*：Mod(C) → Mod(B) を>>871で定義した関手とする。
このとき、(σρ)_* = (ρ_*)(σ_*) である。

証明
E ∈ Mod(C)（過去スレpart2の685）とする。
a ∈ A、x ∈ E のとき E = (σρ)_*(E) とみたとき ax = (σρ(a))x である。
E = σ_*(E) とみたとき ρ(a)x = σ(ρ(a))x
よって、E = ρ_*(σ_*(E)) とみたとき ax = ρ(a)x = σ(ρ(a))x
よって、(σρ)_*(E) = ρ_*(σ_*(E)) である。

f：E → F を Mod(C) の射とする。
ρ_*(σ_*(f)) = (σρ)_*(f) である。

以上から (σρ)_* = (ρ_*)(σ_*) である。
証明終