命題 597
I を小さい擬フィルター圏(>>34)とする。
J を２個の対象 a, b と２個の射 u：a → b, v：a → b と単位射 1_a、1_b からなる圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] colim[i] F(i, p) は同型である。

証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
f_i = F(i, u)
g_i = F(i, u)
とおく。

f_i：X_i → Y_i
g_i：X_i → Y_i
である。

γ_i：X_i → (X_i)×(Y_i) を f_i のグラフ射とする。
即ち γ_i(x) = (x、f_i(x)) である。
同様に λ_i：X_i → (X_i)×(Y_i) を g_i のグラフ射とする。
次の図式をファイバー積とする。

K_i　 →　　X_i
↓　　　　　↓γ_i
X_i　 → (X_i)×(Y_i)
　　λ_i

K_i → X_i は f_i と g_i の差核(代数的整数論017の772)である。
即ち、K_i → X_i は lim[p] F(i, p) である。
よって、本命題の主張は>>79から得られる。
証明終