命題 595
I を小さい圏(代数的整数論017の322)とする。
J を有限(>>42)な離散圏とする。
Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：colim[i] Π[p] F(i, p) → Π[p] colim[i] F(i, p) は同型である。

証明
J は有限であるから colim[i] Π[p] F(i, p) = colim[i] Σ[p] F(i, p) である。
同様に Π[p] colim[i] F(i, p) = Σ[p] colim[i] F(i, p) である。
>>26の双対より ψ：colim[i] Σ[p] F(i, p) → Σ[p] colim[i] F(i, p) は同型である。
証明終