命題 594
I を小さい離散圏(>>30)とする。
J を３個の対象 a, b, c と２本の射 a → c、b → c と単位射 1_a、1_b、1_c からなる圏とする。

　　 b
　　 ↓
a → c

Ab を小さいアーベル群(過去スレpart2の893)の圏とする。
F：I×J → Ab を関手とする。
このとき>>29の標準射 ψ：Σ[i] lim[p] F(i, p) → lim[p] Σ[i] F(i, p) は同型である。

証明
F(i, a) = X_i
F(i, b) = Y_i
F(i, c) = Z_i
P_i = lim[p] F(i, p)
とおく。

次の図式はファイバー積(代数的整数論017の799)である。

P_i　→　Y_i
↓　　　　↓
X_i　→　Z_i

次の図式がファイバー積であることを証明すれば良い。
しかし、これは明らかである。

ΣP_i　→　ΣY_i
↓　　　　　↓
ΣX_i　→　ΣZ_i
証明終