C を完備(過去スレpart2の887)な圏とする。
Ψ = (f, α)：(F, I) → (G, J) を L(Cat, C) (>>542) における射とする。
ここで、f：J → I は関手で α：Ff → G は自然変換である。
α は射 lim(α)：lim Ff → lim G を引き起こす(過去スレpart2の861) 。
h：lim F → lim Ff を標準射(>>151)とする。
合成射 lim(α)h：lim F → lim G を lim(Ψ) と書く。
(F, I) ∈ L(Cat, C) に lim F ∈ C を対応させ、
射 Ψ：(F, I) → (G, J) に lim(Ψ)：lim F → lim G を対応させることにより
関手 lim：L(Cat, C) → C が得られる。

同様に関手
lim：L(Fltr, C) → C
lim：L(Prord, C) → C
lim：L(Dir, C) → C
が得られる（>>542）。