命題 630
Compを小さい集合(代数的整数論017の321)上で定義されたコンパクト位相空間(>>501)の圏とする。
I を小さいグラフ(過去スレpart2の809)とする。
F：I → Comp を図式(過去スレpart2の817)とする。
P を (F(i))、i ∈ I の積空間とする。
各 i ∈ I に対して p_i：P → F(i) を射影とする。
X = {(x_i) ∈ P； I における各射 u：i → j に対して F(u)(x_i) = x_j} とおく。
各 i ∈ I に対して p_i：P → F(i) の定義域を X に制限したものを π_i とおく。
族 (π_i)、i ∈ I を π とする。
このとき (X、π) は lim F (過去スレpart2の824)である。
よって、Comp は完備(過去スレpart2の887)である。

証明
Tychonoffの定理(代数的整数論009の432)より P は準コンパクト(>>501)である。
P はHausdorffであるから P はコンパクトである。
>>494より X は P の閉集合である。
よって、X はコンパクトである。
よって、(X、π) = lim F であることは>>502より明らかである。
証明終