命題 581
Set を小さい集合(代数的整数論017の321)全体の圏とする。
I を小さい(代数的整数論017の322)フィルター圏(>>36)とする。
F：I → Set を関手とする。
S = ΣF(i) を族 (F(i))、i ∈ I の直和集合とする。
≡ を>>44で定義した同値関係とする。
このとき以下が成り立つ。

(1) x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
このとき k ∈ I と x’∈ F(k) と y’∈ F(k) があり x ≡ x’、y ≡ y’となる。

(2) x、y ∈ F(i) とする。
このとき x ≡ y となるためには射 u：i → j で F(u)(x) = F(u)(y) となるものが存在することが
必要十分である。

証明
(1)
>>37の (2) より u：i → k と v：j → k がある。
x’= F(u)(x)、y’= F(u)(y) とおけばよい。

(2)
必要性：
x ≡ y とする。
s：i → k と t：i → k があり F(s)(x) = F(t)(y) となる。
>>37の (3) より w：k → j で ws = wt となるものがある。
F(w)F(s)(x) = F(w)F(t)(x) より F(ws)(x) = F(wt)(y)
u = ws とおけば、u：i → j で F(u)(x) = F(u)(y)

十分性：
自明である。
証明終