命題 624
Setを小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
I を有限(>>43)なフィルター圏(>>36)とする。
I^o を I の双対圏(代数的整数論017の304)とする。
F：I^o → Set を関手とする。
(X、π) = lim F (過去スレpart2の824)とする。
I の各射 u：i → j に対して F(u)：F(j) → F(i) は全射であるとする。
このとき各 i ∈ I に対して π_i：X → F(i) は全射である。

証明
族 (F(i))_I の直積を P とする。
過去スレpart2の889より X は P の元 (x_i) で I の各射 u：i → j に対して
F(u)(x_j) = x_i となるもの全体の集合としてよい。
このとき、各 π_i：X → F(i) は射影 P → F(i) を X に制限したものである。

任意の k ∈ I を固定する。
任意の a ∈ F(k) をとる。
I は有限図式と見なせる。
I はフィルター圏であるから I を基底とする余錐(過去スレpart2の830)が存在する。
この余錐の頂点を m とする。
u：k → m をこの余錐に属す射とする。
F(u)：F(m) → F(k) は全射である。
よって、a = F(u)(z) となる z ∈ F(m) がある。
各 i ∈ I に対して u_i：i → m をこの余錐に属す射とする。
x_i = F(u_i)(z) とおく。
このとき x = (x_i) ∈ X であり、a = π_i(x) である。
よって、π_k：X → F(k) は全射である。
証明終