命題 623
Setを小さい集合(代数的整数論017の321)の圏とする。
I を小さいフィルター圏(>>36)とする。
I^o を I の双対圏(代数的整数論017の304)とする。
F：I^o → Set を関手とする。
(X、π) = lim F (過去スレpart2の824)とする。
I の各射 u：i → j に対して F(u)：F(j) → F(i) は全単射であるとする。
このとき各 i ∈ I に対して π_i：X → F(i) は全単射である。

証明
i ∈ I を固定する。
>>417より π_i：X → F(i) は単射であるから π_i が全射であることを証明すればよい。
x_i を F(i) の任意の元とする。
I はフィルター圏であるから、任意の j ∈ I に対して射 u：i → k と射 v：j → k がある。
y_j = F(v)F(u)^(-1)(x_i) とおく。
射 u’：i → k’と射 v’：j → k’があるとする。
I はフィルター圏であるから、{i、j、k、k’} と {u、v、u’、v’} からなる有限図式を
基底とする余錐が存在する。
よって、y_j は k、u、v の選び方に寄らない。
族 (F(i))_I の直積を P とする。
各 y_j は P の元 y = (y_j) を定める。
I の任意の射 s：j_1 → j_2 に対して
{i、j_1、j_2} と {s} からなる有限図式を基底とする余錐が存在する。
このことから y_(j_1) = F(s)(y_(j_2)) であることは明らかである。
よって、y ∈ X である。
y_i = x_i であるから x_i = π_i(y) である。
よって、π_i：X → F(i) は全射である。
証明終