命題 579
C を圏とする。
C がフィルター圏(>>36)であるためには C が空でない連結(>>40)な擬フィルター圏(>>34)であることが
必要十分である。

証明
必要性：
C がフィルター圏であるとする。
>>37の (1) より C は空でない。
>>37の (2) より C は連結である。

>>37の (2) より任意の射 u：i → j、u’：i → j’に対して
w：j → k と w’：j’→ k となる射がある。
wu：i → k、w’u’：i → k である。
>>37の (3) より射 v：k → k’で vwu = vw’u’となるものがある。
よって、>>34の (1) が満たされる。
よって、C は擬フィルター圏である。

十分性：
C が空でない連結な擬フィルター圏であるとする。
x と y を C の任意の対象とするとき C の対象 z と射 x → z、y → z が存在することを
証明すれば良い。
C は連結だから C の対象の有限個の列 x = x_0, x_1, ．．．x_n = y があり、
各 i (i = 1, 2, ．．．n)に対して射 x_(i-1) → x_i または射 x_i → x_(i-1) が存在する。
n に関する帰納法で証明する。
n = 1 の場合は明らかであるから n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より射 x → r、x_(n-1) → r が存在する。
一方、仮定から射 x_(n-1) → y または射 y → x_(n-1) がある。
x_(n-1) → y がある場合は>>34の (1) より y → z と r → z がある。
よって、x → r → z と y → z がある。
y → x_(n-1) がある場合は x → r と y → x_(n-1) → r がある。
証明終