b∈V(f)なる元bについて、b∈f(A)-f(P)
⇔b∈f(A)かつb∈f(P)
から、どう話を進めるのか、がしっくりきません。

⇔f^-1(b)∈Aかつf^-1(b)∈P
とできるのか、
f(a)=b,f(a´)=bなる元a,a´∈Aが存在し、
a∈Aかつa´not∈Ｐ
とすべきなのか。

前者だと、②において単射でなくとも等号が成立してしまうし、
後者だと、今後の話の進め方が分かりません。
なにか、理屈におかしいところがあるでしょうか？
このようにしっくりきませんのです。