>>778
帰納法とか漸化式もいらんよ。
a^n+b^n∈Z となることは次のようにしてわかる。

Qの代数閉包をKとおき、ZのKにおける整閉包Iとおく。
E=Q(√7)とおく。E/Qはガロア拡大である。
a^n+b^nはGal(E/Q)で不変であるから、a^n+b^n∈Q

一方、√7∈Iであるから、a^n+b^n∈I がいえる。
Zは整閉整域なので、あわせて、a^n+b^n∈Z がいえた。

4の倍数であることは次のようにすれば一番早いかな？
(4の倍数の部分はnが偶数という条件が抜けていると思う)
nが偶数だとすると、n=2mとかけて、
(1+√7)^n+(1-√7)^n=(8+2√7)^m+(8-2√7)^n
≡(2√7)^m+(2√7)^m=2^(m+1)(√7)^m≡0 (mod 4)