C(n,i)で2項係数を表すことにする。
3^(n+2)+4^(2n+1)
=9*3^n+4*16^n
=9*3^n+4*(13+3)^n
=9*3^n+4*Σ[i=0,n]C(n,i)13^i*3^(n-i)
=9*3^n+4*(3^n+Σ[i=1,n]C(n,i)13^i*3^(n-i))
=13*3^n+4*13*Σ[i=1,n]C(n,i)13^(i-1)*3^(n-i)
=13*{3^n+Σ[i=1,n]C(n,i)13^(i-1)*3^(n-i)}
3^n+Σ[i=1,n]C(n,i)13^(i-1)*3^(n-i)は明らかに整数だから、
3^(n+2)＋4^(2n+1)は13の倍数。

高校での整数の証明問題は2項展開で解決できるのが多い。