ごめん、√d1,√d2,.., だった√抜けてたわ。以下証明の貼り付け
[命題P_n]
どんなn個の互いに素な√d(d:平方因子を含まない整数＞1)の形の数達を
与えたとしても Q(√d_1,√d_2,,,,√d_n)のQ上の拡大次数は2^n である。
P_1が真であることはほとんど明らか。(とくにdは平方数でないから)
P_2が真であることを示したい。Q(√d_1)が√d_2を含まないことを示せばよい。
含んでいたと仮定すると a+b√d_1 = √d_2 を満たす有理数a,bが取れる。
両辺2乗し a^2+d_1b^2+2ab√d_1 = d_2 を得る。
これから 2ab√d_1 = d_2-a^2-d_1b^2 を得る。
a=0 のとき b√d_1 = √d_2 となるので b≠0に注意して
√(d_1d_2) ∈Q を得る。 これは明らかに矛盾である。
b=0 のとき a = √d_2 となる。 明らかに矛盾である。
ab≠0のとき √d_1∈Q がいえる。明らかに矛盾である。
以上より、P_2が真であることがいえた。
ある正整数s≧2が存在していて P_1,P_2,..,P_sが真であると仮定する。
このとき、P_(s+1)も真であることが示せば帰納法は完成したといえる。
E=Q(√d_1,√d_2,,,,√d_s),F=Q(√d_1,√d_2,,,,√d_(s-1)) とおく。
Eが√d_(n+1)を含んでいないことを示せばよい。
含んでいると仮定する。(ここから矛盾を導きたい)
すると √d_(s+1) = a+b√d_s を満たすa,b∈Fが取れる。
(∵ [E:F]=2 であり 1,√d_s は線形独立であるから)
両辺を2乗し整理して 2ab√d_s = d_(s+1)-a^2-d_1b^2∈F を得る。
これから a=0 または b=0 または √d_s∈F がいえる。
a=0であるとすれば √d_(s+1) = b√d_s であるから
√(d_s)(d_(s+1)) = b*d_s∈F がいえる。しかしながら
Fに√((d_s)(d_(s+1)))に添加してできる体は帰納法の仮定から
Q上の拡大次数は2^sであるので これは矛盾している。
b=0であるとすれば √d_(s+1) = a∈F がいえる。
しかしながら Fに√d_(s+1)を添加してできる体は帰納法の仮定から
Q上の拡大次数が2^sであるので これは矛盾している。
√d_s∈F であるときも同様に矛盾である。　　　　　　　　　　　■