わたし一年生ですが、以下の証明は合っていますか？

f(x)がx=aで連続 ⇔ aに収束する任意の数列{x_[n]}に対して、数列{f(x_n)}はf(a)に収束する

f(x)はx=aで連続とする。
{x_n}がaに収束するとすると、あるNが取れて、
n≧N ならば |x_[n]-a|<Rとできる。 (R>0)
よって、任意のε>0をとったとき、あるδが取れて
|x_[n]-a|<δ ならば |f(x_[n])-f(a)|<ε となる。
上のRとしてδを取れば、f(x_[n])→f(a) (n→∞) が示される。

aに収束する任意の数列{x_[n]}に対して、数列{f(x_n)}はf(a)に収束するとする。
背理法による。f(x)がaで連続でないと仮定する。すなわち、
あるε>0があって、任意のδに対して、
|x-a|<δ でありながら |f(x)-f(a)|≧ε となるとする。
数列{δ_[n]}として、δ_[n]→0 (n→∞)となるものを取ると、各nに対して、
|x_n-a|<δ_[n] となるx_[n]を項とする数列{x_n}が作れる。
δ_[n]→0 (n→∞)より、任意のε'と取ったとき、あるNが取れて
n≧N ならば δ_[n]<ε' すなわち |x_[n]-a|<ε'とできる。
つまり、数列{x_[n]}はaに収束する。よってはじめの仮定より、あるNがあって、
n≧N ならば |f(x_n)-f(a)|≦ε とできるが、これは矛盾。